[회로이론] LC 및 RC 회로

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LC 및 RC 회로

 

본 장에서는 저항 소자가 없는 inductor L 과 Capacitor C만으로 구성된 reactance 회로와 RC 회로에 대해서 고찰하기로 한다.

 

1. LC immittance 함수

 

구동점 impedance 와 admittance는 앞에서 언급한 바와 같이

,

로서 표시하며, 이를 구동점 impedance 와 admittance의 결합으로서 구동점 immittance가 정의된다는 것도 앞에서 언급했다.

일반적으로 복잡한 회로망일지라도 소자의 직렬과 병렬로 결합된 것이므로 L과 C의 직렬 결합에서의 합성 impedance는

또는

(1)

단, , 는 각각 직렬결합시의 등가 inductance와 등가 capacitance이다.

식(1)을 변형하면

(2)

같은 방법으로 inductance와 capacitance가 병렬로 결합되었을 때의 합성 admittance는

또는

(3)

여기서 와 는 병렬결합시의 등가 capacitance와 inductance이다.

식(3)을 변형하면

(4)

식(2)와 (4)의 와 를 비교하여 보면, 다만 상수만이 다를 뿐이다.

복잡한 회로망의 구동점 immittance는 impedance와 admittance의 역을 더하든가 또는 그와 반대로 하여 구할 수 있으며, 모든 회로망은 몇 개의 직렬 및 병렬회로의 결합으로 되어 있으므로 구동점 immittance에 대한 식은 (2)와 (4) 또는 이들 식의 역의 합으로 이루어진다.

 

[예제1] 그림1은 Ladder 회로망인데 이에 대한 구동점 admittance는 몇 개의 직렬회로와 병렬회로로 갈라서 구할 수 있다.

 

 

 

 

 

그림1. ladder 회로

 

node a, b간의 impedance는

이고, 이 impedance의 역 와 capacitor의 admittance를 결합하면

따라서 1-1’ 단자에서의 구동점 impedance는 1 의 inductor의 impedance와 의 역을 더함으로써 구해진다.

(5)

위의 예에서 구한 구동점 immittance를 관찰해 보면 다음과 같은 일반적인 성질을 알 수 있다.

ⅰ) 식(2), (4)와 같은 LC 구동회로의 모든 immittance는 일정한 계수를 가진 s의

다항식의 나누기로 되어 있다.

ⅱ) reactance함수는 정실함수이므로 분모 분자의 최고 차수는 1차 이상 서로 다르지

않다.

ⅲ) 다항식의 분자 분모는 각각 s의 우수(even) 혹은 기수역(odd power)만으로 되어

있으며, 분모가 우수로 되어 있으면 분자는 기수로 되고, 그 반대도 성립한다.

ⅵ) s의 우수차로 된 다항식에서 최소의 차수 항은 0차 항이다.

 

위에 기술한 4가지 성질은 몇 개의 예제에 근거를 두고 유도한 것이지만, 일반적으로 LC 회로에 대해서는 모두 성립한다.

ⅰ), ⅱ)의 성질은 RL, RC, RLC의 모든 회로에 대한 구동 immittance에 적용되는 성질이지만 ⅲ), ⅳ)는 무손실 LC회로에서만 적용된다.

 

이상의 고찰로써 무손실 회로의 구동점 immittance는 우수다항식의 나누기로 되어 있다고 생각할 수 있으며, 또 분자 분모의 차수는 1차 이상 서로 다르지 않다.

따라서 reactance함수는 일반적으로 다음 형태로 표현된다.

(6)

이 식은 분자 분모에서 우수대 기수다항식(even to odd polynomial)의 나누기로 되어 있으나, s가 분자 분모의 공통 인수로 되면( 기수대 우수다항식(odd to even polynomial)의 항으로 된다.

분자는 의 의 근으로 인수분해가 되는데, 분모에서 s가 인수로 나오면 이는 에서

개의 근으로 인수분해가 된 의 다항식으로 될 것이다.

따라서 식(6)의 인수로 분해된 식은

(7)

단, : 정수(constant)

식(7)은 형태의 인수로 되어 있는데, 이는 다음 두 개의 근을 가진다.

, (8)

이 근은 순 허수만으로 되어 있는데, 이는 각주파수(radian frequency)와 관련되어 있다.

이러한 개념을 강조하기 위해 을 으로 놓고 기호를 변경하면 impedance식의 대수적인 근들은 다음과 같은 순 허수의 쌍이 된다.

따라서 구동점 impedance는

(9)

만일 식(6)에서 이면

(10)

정현파로 구동되는 회로의 도함수는 대신에 를 대입하여

(11)

혹은

(12)

여기서 부호는 분모 분자에서 (-)의 인자(factor)의 개수에 따라 결정된다.

정현파의 정상상태에서 일반적인 구동 immittance는 다음과 같은 복소수이다.

(13)

: 저항, : reactance, : conductance, : susceptance

식(11), (12)에 의하면 는 순 허수 부분이므로 의 형태는 항상 실수이고, 계수 도 정의 실수이어야 한다.

따라서 회로에서는

(14)

가 되며, impedance함수는 순 reactance이므로 회로를 reactance회로라 한다.

 

2. LC immittance 함수의 성질

 

 

 

 

 

 

 

그림2. 정(+), 부(-)의 slope

 

reactance 함수 를 에 대해서 미분하면 그림2의 (a)와 같이 그 함수는 항상 정이 된다. 즉, slop는 (+)이다.

(15)

이것을 증명하기 위하여 식(9)가 영 주파수에서 pole을 가지고 무한대의 주파수에서 pole을 가지는 다음 식을 도입해 보자.

(16)

이 식의 경우 분자에서 형의 인자(factor)는 분모보다 하나가 더 많다.

식(16)을 부분분수로 전개할 때 형은 다음과 같이 전게된다.

(17)

는 의 공액이므로 와 는 크기가 같다. 그러므로

따라서 항의 전개 형식을 적용하면 식(16)은 다음과 같은 형으로 전개된다.

(18)

는 pole에 대한 유수(residue)이며, 모든 pole은 축에 존재한다.

다음 의 정현파에서 는 순 reactance 로 표현되므로

따라서 의 에 대한 미분은

(19)

는 정이므로 모든 정, 부의 에 대해서 기울기는 항상 정이 된다. 즉

(20)

그러므로 식(15)는 증명되었다.

susceptance 도 같은 방법이 성립한다. 즉,

(21)

LC 회로의 slope 가 항상 정이 되기 때문에 reactance 함수의 pole과 zero는 교대로 나타나며, pole은 zero에 의해서 분리되고 zero는 교대로 나타나며, pole은 zero에 의해서 분리되고 zero는 pole에 의해서 분리되는 이러한 성질을 reactance 회로의 분리성(separation property)이라 부른다. 즉 기울기가 의 증가에 따라 도 증가해야 한다.

어떤 에서 은 주어진 값으로부터 주파수가 증가함에 따라 도 증가하며 무한대의 주파수에서는 의 부호는 바뀐다.

에서는 slope는 역시 정이 되며 의 값은 영이 될 때까지 증가하고, 다시 주파수와 더불어 무한대까지 증가한다. 이 과정을 그림3에 표시하였다.

 

 

 

 

 

 

 

그림3. reactance 함수의 특성

 

이러한 사실은 간단한 직렬소자로서 확인할 수 있다.

에서 은 일 때 그 값은 zero가 되고, 에서 pole이 되어 은 에 따라 직선적으로 변화한다. 또

에서 는 에 반비례하므로 일 때 zero, 일 때 pole이 된다.

이들 관계를 종합하면 표1과 같으며, pole과 zero가 교반적임을 보이고 있다.

 

	zero pole	pole zero

표1.

 

또 pole과 zero에 대한 물리적인 고찰을 하면,

pole 주파수에서 inductance 의 값은 무한대가 되므로 물리적으로 개방회로로 동작하며,

Capacitance는 zero 주파수에서 무한대가 되므로 개방회로가 된다.

 

은 zero 주파수에서 단락회로로 동작하므로 inductor의 양단에는 전압이 나타나지 않고

capacitance는 무한대의 주파수에서 zero가 되므로 단락회로로 나타난다.

이와 같은 물리적 해석은 회로의 관찰에 의하여 구할 수 있다.

그림4를 고찰하면, zero 주파수에서 capacitor는 개방회로가 되므로 이 회로의 구동

impedance는 zero 주파수에서 pole을 가지고, 무한대 주파수에서 inductance는 개방회로가 되므로 impedance 함수는 무한대에서 역시 pole을 가진다.

또 zero 및 무한대의 주파수에서 구동 impedance의 특성은 impedance 함수의 수학적 형태로부터 결정할 수 있다. 식을 간단히 하기 위해여 대신에 s로 대치하면 식(6)으로 주어진 구동점 impedance는 다음과 같이 쓰인다.

(22)

단, 은 우수(짝수)이고, 은 기수(홀수)이다.

가 매우 큰 값으로 접근할 때에는 분자 분모의 고차 항만 생각하면 된다. 즉

(23)

과 은 서로 1차가 다르고 결코 같지는 않다. 때문에 가 무한대로 접근하면 는 과 의 크기에 따라서 또는 로 접근하게 된다. 어느 경우나 과 은 서로 1차 이상 다르지 않으므로 무한대에서 pole과 zero는 단일이다. 다시 말하면 분자가 분모보다 한 차수 높으면 무한대에서 한 개의 pole이 존재하고, 그 반대의 경우는 단일 zero가 존재한다.

다음 낮은 주파수에 대해서는 식(22)의 고차 항을 무시하여도 무방할 것이므로

이 식은 다음 두 가지의 관점에서 검토함이 타당할 것이다.

ⅰ) 인 경우 :

이 경우에는 최저항은 분자가 이고 분모가 이므로 영 주파수에서 pole을 가진다. 즉

(단, ) (24)

ⅱ) 인 경우 :

이 때는 분자의 최저항은 이고, 분모의 최저항은 이므로 영 주파수에서 zero를 가진다. 즉

( 단, ) (25)

이와 같이 하여 영 주파수에서는 zero가 존재한다는 것을 알 수 있다.

이상의 고찰로써 다음 사실을 알게 된다.

분자의 가장 낮은 차수의 항이 분모의 가장 낮은 차수의 항보다 더 크면 영 주파수에서 단일 zero가 존재하고, 반대로 분모의 차수가 분자의 차수보다 크면 영 주파수에서 단일 pole 이 존재한다. 즉 및 무한대의 주파수는 회로에서 pole이 되든가 zero가 되며, 이들 pole과 zero는 항상 단일(simple)이다.

 

[예제2] 다음과 같은 구동점 impedance에서

분자의 의 최고 차수는 4이고, 분모의 의 최고 차수는 3이다. 따라서 무한대에서 분자의 차수가 분모의 차수보다 크므로 pole을 가지고, 가 적은 값(낮은 주파수)에 대해서는 는 에 접근하게 되므로 영 주파수에서도 역시 pole이 된다.

문제의 주어진 식으로부터 에서 는

, 에서 유한 zero를 가지고, , 에서 유한 pole을 가진다.

그림4는 이 때의 -평면과 reactance의 특성을 표시하였다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

그림4. -평면과 문제의 reactance 특성

 

[예제3] 다음 impedance 함수와 같이 분모의 차수가 클 때

이 식은 분자의 차수는 3이고, 분모의 차수는 4이다. 따라서 영 주파수 및 무한대 주파수에서 모두 zero가 됨을 알 수 있다. , 에서 한 개의 zero를 가진다.

zeros : ,

poles : ,

이들 관계는 그림5에 표시하였다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

그림5. 예제3의 s-plane과 reactance 특성

3. LC immittance 함수의 4가지 형식

 

앞에서 영 및 무한대의 주파수는 항상 pole이거나 zero가 된다는 것을 언급하였는데, 두 개의 주파수에 대한 가능한 경우를 생각하면 표2와 같다.

 

No.
1 2 3 4	pole zero pole zero	pole zero zero pole

표2. reactance 함수의 4가지 형식

 

이것이 reactance 함수의 4가지의 형식이다.

이 4가지의 각각에 대응하는 구동점 reactance(혹은 admittance)의 형을 구하는 문제를 다음에 기술하기로 한다.

(ⅰ) No.1의 경우

이 경우는 영 및 무한대의 주파수에서 모두 pole을 가지므로 분모에는 인자 가 있을 것이고, 분자에서는 형의 인자가 분모보다 한 개가 더 많아야 할 것이다. 따라서 구동점 impedance에 대한 일반형은 다음 식으로 주어진다.

(26)

이 식에서 처음과 나중의 임계주파수(pole 또는 zero)는 이 식의 분자에 있으며, 이 함수에 대응되는 일반형은 그림6에 있다.

 

 

 

 

 

 

 

 

그림6. No.1의 경우의 특성

 

(ⅱ) No.2의 경우

이 경우는 No.1의 경우의 역인데 영 및 무한대의 주파수에서 모두 zero를 가지고 있으므로 분자에는 항이 있을 것이고, 분모에는 분자보다 한 차수가 더 많은 항이 있어야 할 것이다. 이때 구동점 impedance 함수는 다음 형으로 주어진다.

(27)

이때 의 관계에 있으며, 이때의 reactance 함수는 그림7에 표시하였다.

 

 

 

 

 

 

 

 

그림7. No.2 경우의 특성

 

(ⅲ) No.3의 경우

이 경우는 영 주파수에서 pole을 갖기 위해서는 항이 있어야 할 것이며, 무한대의 주파수에서 zero가 되므로, 분모의 최고 차수는 분자의 차수보다 크지 않으면 안 될 것이다.

이미 제1항이 항이 있어야 할 것이며, 주파수에서 zero가 되기 위해서는 분모의 말항이 항이 있어야 할 것이다.

이때 구동점 impedance 함수는 다음과 같이 표현된다.

(28)

이때의 reactance 함수는 그림8에 표시하였다.

 

 

 

 

 

 

 

그림8. No.3 경우의 특성

 

(ⅳ) No.4의 경우

에서 zero, 에서 pole을 가지기 위해서는 분자와 분모가 같은 항을 가지지 않으면 안 된다. 또한 분자는 한 개의 항을 가져야 한다.

이때의 구동점 impedance는 다음과 같다.

(29)

이때의 reactance 함수는 그림9에 표시하였다.

 

 

 

 

 

 

 

그림9. No.4 경우의 특성

 

이상의 4가지 경우,

정현파의 정상 상태에서는 이므로 No.1과 No.3에 대한 reactance 함수는

(30)

가 되고, No.2와 No.4에 대해서는

(31)

(단, )

가 됨을 알 수 있다.

 

이 경우에 reactance 함수의 부호는 가 정(+)의 기울기가 되도록 선택되어야 하며, 정의 기울기가 되기 위해서는 에서 의 값은 영이 되거나 부(-)의 무한대가 되어야 한다. 따라서 의 부호는 pole, zero 주파수에서 바꾸어지게 된다.

의 인자에 대해서 고찰하면, 때 인자의 부호는 부(-)가 되고, 에서는 정(+)이 되어 pole과 zero는 주파수에서 정, 부가 계속적으로 교대로 나타나게 된다. 계수 는 정(+)의 실수이다.

 

 

4. 임계 주파수의 표시

 

영 주파수와 주파수를 임계주파수(critical frequency)라 하는데, 0 및 주파수에서의 pole과 zero는 외부 임계주파수라 정의한다. 따라서 0이 아닌 유한 주파수에서의 pole과 zero 는 내부 임계주파수라 한다.

 

 

 

 

 

10. 임계주파수의 표현

 

이를 내부 및 외부 임계 주파수의 예를 그림10에 표시하였다.

회로에서는 pole과 zero가 분리 특성에 의해서 교번적으로 나타나기 때문에 내부 임계주파수를 pole, zero로서 정한다면 외부 임계주파수는 스스로 정해진다.

 

이상을 종합하면, 만일 임계주파수에 대한 특성이 결정되면 외부 임계주파수에 대한 특성은 결정된다. 또 그 역도 마찬가지이다.

식(30), (31)에서 보는 바와 같이 모든 임계주파수가 결정되면 남은 것은 계수 인데, 이는 비임계주파수(noncritical frequency)에서의 reactance값이나 pole 주파수가 아닌 어떤 다른 주파수에서의 reactance 곡선의 기울기 의 값도 결정지을 수 있다.

다음 이들 성질에 맞도록 실제적인 회로의 설계에 대한 문제를 배우기로 한다.

 

5. LC 구동점 immittance에 대한 Foster 회로

 

reactance 함수의 부분분수 전개는 성질 No.1, No.3의 경우에 대하여 고찰함이 필요한데, No.1의 경우에 대한 구동점 impedance 함수는 식(6)에 대한 부분분수의 전개는 일반적으로 다음과 같다.

(32)

 

(1) 제1종 Fosrer 회로

일반적으로 직렬 선형 impedance는 다음 식으로 주어진다.

(33)

이 식의 각 항을 식(32)의 각 항에 대응시켰을 때 구동점 impedance 를 가지는 직렬회로가 구성된다. 이러한 개념은 식(33)의 와 식(32)의 를 대응시키면 는 와 같게 되어 인 capacitance로 대치된다. 또 와 를 대응시키면 henry인 inductor 에 대응된다는 것을 알 수 있다. 그런데 2항, 3항 등은 병렬 결합회로로서 주어진다. 즉 병렬 impedance는

(34)

이므로, 이를 식(32)의 제2항에 대응시키면 과 의 일반항은 다음과 같이 결정된다.

즉

, (35)

이상의 결과를 그림11에 종합하였다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

그림11.

 

따라서 식(32)에 대응되는 회로는 그림12와 같이 실현되며, 항은 원점에서 pole이 되고 항은 무한대에서 pole 특성을 가진다. 이것을 제1종 Foster 형이라 하며, 이것은 No.1의 성질을 실현하는 회로이다.

 

 

 

 

 

그림12.

 

같은 방법으로 reactance 함수의 4가지 특성을 나타내는 회로가 구하여질 수 있다.

No.2, 3, 4의 경우는 또는 를 제거함으로써 No.1의 경우로부터 간단한 회로가 구해진다. 즉 의 분모에서 항이 없을 경우 부분분수 전개식에는 분자 가 없을 것이므로 이 때에는 inductor 는 없을 것이다. 따라서 4가지 경우의 말단소자(end element)는 표3에 종합하였다.

No.
1 2 3 4	pole zero pole zero	pole zero zero pole	있음 없음 있음 없음	있음 없음 없음 있음

표3. 제1종 Foster

 

(2) 제2종 Foster 회로