물리전자(반도체물성과 소자) 4챕터 [반도체 전하 캐리어]

본 게시물은 개인공부 게시물입니다.

4장에서는 평형상태의 반도체를 다룬다 평형상태 혹은 열평형상태는 전압,전계 자기장 혹은 온도 기울기와 같은 외붜 힘이 반도체에 작용하지 않는 상태를 의미한다. 이경우 반도체의 모든 성질은 시간에 대하여 변하지 않는다.

4.1 반도체 전하 캐리어

전류는 시간당 이동한 전하량으로 결정된다.

열평형상태의 전자와 정공의 농도를 수학적으로 유도할 것이다.

평형상태의 전자와 정공 분포

전도대의 에너지에 대한 전자농도의 분포는 양자상태 밀도와 하나의 양자상태가 전자에 의하여 채워질 확률의 곱으로 주어진다.

n(E) = gc(e)ff(e)

여기서 ff(E)는 페르미-디락 확률 함수이고 gc(E) 전도대의 양자상태 밀도이다.

진성반도체는 불순물이 없는 순수한 반도체를 이야기 한다.

n0 와 p0의 방정식

진성반도체의 페르미 에너지는 밴드갭 가운데 근처에 있다고 하였다. 열평형 상태의 전자농도 n0와 정공농도 p0의 방정식을 유도함에 있어서 특별한 경우 페르미 에너지는 이 밴드갭 가운데 에너지로부터 벗어날 수있음을 보게 될것이다.

n0=nc exp[-(ec-ef)/kT]

파라미터 Nc를 전도대의 유효상태밀도함수라고한다.

주석]

하나의 상태가 점유될 확률은 아주 작다. 하지만 엄청난 수의 상태가 존재하기때문에 모든 상태에 존재하는 모든 전자의 농도는 상당히 큰값을 갖는다는것을 유의해야한다.

열평형상태의 정공농도

가전자대의 열평형상태의 정공농도는 가전자대의 에너지에 대해 식을 적분하여 구할 수 있다.

p0=Nv exp[-(Ef-Ev)/kT]

파라미터Nv는 가전자대의 유효상태밀도함수라고 부른다.

주석] 어떤 온도에서든지 파라미터 값들은 300K일때 값과 온도 의존성을 활용하여 계산할 수 있다.

진성캐리어농도

진성반도체에 대하여 전도대의 전자농도는 가전자대의 정공농도와 같다.

진성캐리어농도를 ni라고 표시한다.

진성반도체의 페르미 에너지 준위를 진성 페르미 에너지라고 부르고 Ef=Efi 로 표시한다.

ni 스퀘어 = NcNv exp[-(Ec-ev)/kT] 이다.

여기서 Eg는 밴드갭 에너지이다.

진성캐리어의농도는 강한 온도의 함수이다.

주석]우리는 예제로 부터 진성캐리어농도는 온도가 150도 증가함에 따라 차수가 4 증가함을 유의할수 있다.

4.1.4진성페르미 준위 위치

진성반도체에서 페르미준위는 금지대 밴드갭의 중앙 근처에 위치한다는 것을 정성적으로 설명한다.

Efi-Emidgap = 3/4kTln(mp유효질량/mn유효질량)

즉 전자와 정공의 유효질량이 같을때 페르미 준위는 정확히 밴드갭 중앙에 위치하게 된다.

mp>mn일 경우 진성페르미준위는 중앙의 위에 위치하고 mp<mn이면 밴드갭 아래에 위치한다(물론 유효질량일떄)

상태밀도함수는 캐리어 유효질량과 직접관계되므로 유효질량이 크면 상태밀도함수가 커진다.

주석]실리콘의 진성 페르미 준위는 가운데 에너지갭 아래 12.8meV에 위치하게된다. 아주작은 수치이기떄문에 비교적 진성페르미준위는 밴드갭 중앙에 위치한다고 근사하여 말할수있다(하지만 엄밀히 중아에 위치한것은 아니다)

4.2도펀트 원자와 에너지 준위

진성반도체가 흥미로운 재료일수 있으나, 불순물을 첨가하여 사용하는경우가 대부분이고

이를 외인성반도체(extrinsic semiconductor)라고 부른다.

4.2.1 정성적 설명 

5가원소를 치환할때  n형반도체(전자가 생긴다)

3가원소를 치환할때 p형반도체(홀이 생긴다)

4.2.2 이온화 에너지

도너 불순물 이온과 도너 전자 사이의 거리를 근사적으로 계산하여 도너 전자를 전도로 상승시키는데 필요한 에너지를 이온화 에너지라고 부른다.

m* rn v= n h(bar)

여기서 v는 속도의 크기이고 rn은 궤도반경이다. 각 운동량도 양자화된다고 가정한다.

실리콘과 게르마늄에서 인과 비소와 같은 통상적인 도너 불순물에 대해서 수소 모델은 잘 맞으며 이온화 에너지 크기를 추축할 수 있다.

4.2.3 3-5족 반도체 계열

생략

4.3외인성 반도체

4.3.1전자와정공의 평형상태 분포

주석]페르미에너지의 변화는 반도체에 첨가된 도너와 억셉터불순물 농도의 함수이다.

하지만 페르미에너지가 수십분의 1eV 변함에 따라 전자와 정공농도가 진성 캐리어농도 크기의 수 차수 만큼 변함을 알수있다.

4.3.2 n0 p0의 곱

ni제곱 = n0p0

이 식은 주어진 온도에서 주어진 반도체에 대하여 항상 상수임을 의미한다.

4.3.3페르미 디락 적분

페르미-디락 적분이라고 부르는 함수는 변수 에타f에 대하여 표로 계산되는 함수이다.

주석]n0의 열평형상태의 값은 볼츠만 근사가 이경우 성립하지 않으므로 옳지않다.

4.3.4 축퇴와 비축퇴 반도체

불순물 농도가 증가하면 불순물원자들 사이의 거리가 감소하고 도너 전자들이 서로 간섭하기 시작하는 시점에 도달하게 되며, 전도대의 전자농도가 상태밀도 Nc보다 클때 페르미 에너지는 전도대 내부에 있게된다. 이러한 형태의 반도체를 축퇴 반도체라고 부른다.

4.4 도너와 억셉터의 통계

4.4.1 확률함수

페르미 디락-확률함수를 유도하는데 사용된 하나의 조건은 오직 하나의 입자만이 각 양자상태에 허용되는 파울리의 배타율이다. 파울리의 배타율 역시 도너와 억셉터 상태에도 적용된다.

각 도너 준위는 도너 전자에 대해서 두가지 가능한 스핀방향을 가지고 있으므로 2개의 양자상태를 가지고 있다. 하지만 양자상태가 두개도라도 모든 도너 준위의 동일한 방향의 스핀이 우선적으로 모두 채워진후 다른 방향 스핀이 채워지므로 다른 전자를 받아들일수없다 (먼저 채워지긲지)

양자상태는 둘이지만 전자는 하나만 둘수있다는 뜻이다.

nd는 도너 준위를 차지하는 전자농도이고 Ed는 도너준위의 에너지이다.

주석]예제에 의해 전도대에 비해 도너상태에는 매우 적은 수의 전자가 있음을 보여준다. 중요한 것은 도넛상태에서 이온화된 모든 전자들은 전도대로 이동한다는 것이다. 왜냐하면 도너 상태의 0.4퍼센트만이 전자로 채워져있기 때문이다. 이러한 상태를 완전이온화라고 부른다.

상온에서 도너상태는 원칙적으로 완전이온화 된다.

주석]이 예제는 약 상온 100도 아래의 억셉터 원자의 90퍼센트가 이온화됨을 보여준다. 다시말하면 억셉터 원자의 90퍼센트가 가전자대에 정공을 보태주었다.

4.5전하중성

열평형상태의 반도체는 전기적으로 중성이다.

이 전하중성조건은 열평형상태의 전자와 정공농도를 불순물도핑농도의 함수로 계산하는데 사용된다.

4.5.1 보상 반도체

보상반도체는 같은 영역에 도너와 억셉터 불순물을 함께 도핑한 반도체이다. 보상반도체는 예를 들어 p형반도체에 도너 불순물을 확산함으로써 만들수있다.

n형 보상반도체는 Nd> Na 일때 형성되고, p형 보상반도체는 Nd<Na일때 형성된다.

4.5.2열평형상태의 전자 및 정공농도

주석]두경우 모두 Nd-Na>>ni이므로 열평형상태의 다수 캐리어 전자농도는 도너와 억셉터 농도 차이와 같다.

두경우 모두 다수 캐리어 전자농도는 소수캐리어 정공농도에 비하여 차수가 수배정도 크다.

주석]만약 도너 불순물 농도가 진성캐리어 농도와 많이 다르지 않다면 열평형상태의 다수 캐리어 전자농도는 진성캐리어 농도의 영향을 받는다.

진성캐리어 ni는 온도의 의존성이 대단히 큰 함수인것을 보았다. 온도가 증가함에 따라 추가 전자,전공 쌍이 생성되므로

ni제곱 항이 지배적이 되고 반도체는 결국 외인성 특성을 잃어버릴 것이다.

주석]완전이온화와 Na-Nd>>ni를 가정하면 다수캐리어 정공농도는 근사적으로 바로 억셉터와 도넝농도의 차이와 같다.

4.6페르미 에너지 준위의 위치

4.6.1수학적 유도

Ec-Ef=kTln(Nc/n0)

주석]보상반도체는 특정페르미 에너지 준위를 얻기 위하여 제작될수있다.

4.6.2도핑농도와 온도에 대한 Ef의 변화

페르미 에너지 준위를 도핑농도의 함수로써 나타낼수있다.

주석]실리콘에서 억셉터(도너) 농도가 대략 3x10^17cm^-3보다 크면 분포함수의 볼츠만 근사가 적합하지 않게되고, 페르미 준위 위치에 대한 방정식은 더 이상 정확하지 않다.

4.6.3페르미 에너지의 관련성

페르미 에너지 준위를 도핑농도와 온도의 함수로 계산하였다.

진성 캐리어 농도 ni는 온도의 강한 함수이므로 Ef도 역시 온도의 ㅎ마수이다.

온도가 증가합에따라 Ef는 진성 페르미 준위 가까이로 이동한다.

고온에서 반도체는 외인성 특성을 잃어버리기 시작하고 진성 반도체와 같이 거동하기 시작한다.

아주 저온에서는 동결이 발생하고 유도된 방정식이 더이상 적용되지 않는다. 동결이 발생하는 저온에서 페르미 준위는 n형의 경우 Ed 위로 이동하고 p형의 경우 Ea아래로 이동한다.

즉 온도가 높으면 페르미 준위는 진성반도체의 페르미준위에 한없이 가까워진다.

서로 밀착된 재료는 두개의 페르미 에너지가 두재료에서 같아질때 이루워진다.

요약

전도대의 전자농도는 전도대에서 상태밀도함수와 페르미디락 확률함수의 곱의 전도대에너지에대한 적분이다.

가전자대의 정공농도는 가전자대의 상태밀도함수와 한 상태가 비어있을 확률

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