반도체 물성과 소자 chapter 6.캐리어 생성 및 재결합

반도체물성과 소자

6장 반도체 내에서의 비평형 과잉캐리어

우리는 4장에서 열평형상태에 근거하여 반도체의 물성에 대하여 논의했다.

반도체 소자에 전류가 흐르거나 전압이 인가될 때 반도체는 비평형 조건에서 동작하게 된다.

우리는 5장에서 전류 전송을 논할 때 비평형상태를 고려하지 않았지만 평형상태를 심하게 벗어나지 않는다고 묵시적으로 가정했다 만약에 반도체에 외부 여기가 가해진다면 전도대의 과잉전자와 가전자대의 과잉 정공은 열평형상태에서의 농도보다 더 많이 존재할 것이다. 우리는 우선 과잉 캐리어의 생성과 재결합 및 과잉 캐리어들이 생성되고 재결합되는 비율에 대한 일반적인 논의부터 시작할 것이다. 본장에서는 시간과 공간 좌표의 함수로서 비평형 상태의 전자와 정공의 움직임을 논의할것이다.

과잉 전자와 과잉 정공은 서로 독립적으로 움직이지 않는다. 그들은 같은 유효확산계수, 드리프트 이동도, 수명을 갖고 확산,드리프트,재결합한다. 이를 ambipolar 전송이라고 부른다. 우리는 과잉 전자와 과잉 정공의 성질을 나타내는 ambipolar 전송 방정식을 유도한다. 과잉 캐리어는 반도체 재료의 전기적 특성에 큰 영향을 주며 이 과잉 캐리어의 특징이 반도체 소자의 동작에 있어서 기초가 된다.

개설;

-반도체 내에서 과잉 캐리어의 생성 및 재결합과정에 대해 논의한다.

-과잉 캐리어의 재결합률 및 생성률을 정의하고 과잉 캐리어 수명에 대해 정의한다.

-왜 과잉 전자와 과잉 정공이 서로 독립적으로 움직이지 않는 이유를 논의한다. 과잉 캐리어의 동작을 앰비폴러 전송이라고 부르며, 앰비폴러 전송방정식을 유도한다.

-앰비폴러 전송방정식을 여러 상황에 적용하여 과잉 캐리어의 시간특성 및 공간 특성을 결정한다.

-유사-페르미 에너지 준위를 정의한다.

-반도체 내에서 결함이 과잉 캐리어의 수명에 미치는 영향을 분석한다.

-반도체 표면에서 결함이 과잉 캐리어 농도에 미치는 영향을 분석한다.

6.1 캐리어 생성 및 재결합

이장에서 우리는 다음과 같이 정의하는 캐리어의 생성과 재결합에 대해 논의한다.

생성은 전자들과 정공들이 만들어지는 과정이고 재결합은 전자들과 정공들이 소멸하는 과정이다.

열평형으로부터 조금이라도 벗어나면 반도체 내에서의 전자와 정공의 농도는 변화될것이다. 예를 들면, 온도가 갑자기 증가하면 전자와 정공의 열적 생성률이 증가하고 이로인해 그 농도는 새로운 평형값에 도달할떄까지 시간에 따라 변화될 것이다. 빛(포톤의 흐름)과 같은 외부 여기도 전자와 정공을 생성시키고 비평형 조건을 만든다.

생성과 재결합 과정을 이해하기 위해서는 우리는 먼저 밴드와 밴드간의 생성과 재결합을 고찰하고 그 다음에 트랩이나 재결합 중심으로 일컬어지는 밴드갭내에 허용되는 전자적 에너지 준위의 효과를 고찰하기로 한다.

6.1.1 평형상태의 반도체

우리는 앞서 각각의 전도대와 가전자대에 있는 전자와 정공의 열평형 농도를 구하였다. 열평형상태에서 이들의 농도는 시간에 의존하지 않는다. 그러나 전자들은 열적 과정의 무질서한 성질에 의해 가전자대로부터 전도대로 끊임없이 열적으로 여기된다. 이와 동시에, 전자들은 전도대 내의 결정속을 무질서하게 움직이다가 가전자대 내의 정공과 아주 가깝게 접근하게 되고 빈 준위속으로 '떨어지게'될것이다. 이 재결합 과정은 전자와 정공 모두를 소멸시킨다. 순 캐리어 농도들은 열평형일 떄 시간에 의존하지 않으므로 전자와 정공의 생성률과 재결합률은 같아야만 한다. 생성 과정 및 재결합 과정을 그림 6.1에 도식적으로 나타내었다.

Gn0과 Gp0을 각각 전자와 정공의 열-생성률로 놓고 단위는 #/cm^3-s로 놓자. 밴드와 밴드간의 직접생성에 있어서 전자와 정공은 쌍으로 생성되므로 우리는 다음을 얻을 수있다.

gn0=gp0

열평형의 반도체에 대하여 Rn0과 Rp0 을 각각 전자와 정공의 생성률로 놓고 단위는 앞에서와 같이 놓자. 밴드와 밴드간의 직접 재결합에 있어서 전자와 정공은 쌍으로 재결합 되므로 다음 식처럼 된다.

Rn0 = Rp0

열평형에서 전자와 정공의 농도는 시간에 의존하지 않으므로 생성과 재결합률은 같으며 따라서 우리는 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

Gn0=Gp0=Rn0=Rp0

6.1.2 과잉 캐리어 생성 및 재결합

이 장에서는 부가적인 표기법들을 도입하였다. 표 6.1은 이 장 전체에 걸쳐 많이 사용되는 기호들의 몇가지를 나타낸 것이다. 다른 기호들은 각 장에서 이미 설명한 것처럼 정의 될것이다.

예를 들면 고에너지의 광자들이 반도체로 입사되면, 가전자대에 있는 전자는 전도대로 여기 된다. 이러한 상황이 벌어질대, 전도대에는 전자가 생성될 뿐만 아니라 가전자대에는 정공이 생성된다.

즉 전자-정공은 쌍으로 생성된다.

부가적으로 만들어진 전자와 정공을 과잉 전자(excess electrons)와 과잉 정공(excess holes) 이라고 부른다.

과잉 전자들과 정공들은 외부의 힘에 의해 특정한 비율로 생성된다 .과잉 전자들의 생성률을 g'n로 놓고 과잉 정공들의 생성률을 g'p로 놓자. 이 생성률도 앞의 단위를 갖는다. 밴드와 밴드간의 직접생성에서 과잉 전자들과 정공들은 쌍으로 생성되므로 다음을 얻을수 있따

g'n=g'p

과잉 전자들과 정공들이 생성될 때 전도대의 전자농도와 가전자대의 전자농도는 그열평형 값보다 증가하게 되므로 우리는 다음과 같이 쓸수 있다.

n=n0+델타n

여기서 n0와 p0는 열평형 농도이고 델타n과 델타p는 과잉 전자와 과잉 정공의 농도이다. 그럼 6.2는 과잉 전자-저ㅏㅇ공의 생성과정과 그로인해 생성된 캐리어 농도를 나타내고 있는 것이다. 외부의 힘이 평형을 깨뜨리면 반도체는 더 이상 열평형이 아니다. 비평형 상태에서 식(6.5a)와 (6.5b)로부터 ----------

과잉 전자와 정공의 정상상태(steady-state) 생성은 캐리어 농도를 지속적으로 증대시키지는 않는다. 왜냐하면, 열평형의 경우에서처럼, 전도대에 있는 전자가 가전자대로 떨어지게(fall down)되면 과잉 전자- 정공 재결합 과정이 일어나기 때문이다. 이 과정을 그림 6.3에 나타내었다. 과잉 전자들에 대한 재결합률은 R'n으로 정공에 대한 재결합 률은 R'p로 표시한다. 두 파라미터들은 앞의 단위를 가지며 과잉 전자와 정공은 쌍으로 재결합하므로 재결합률은 같다.

밴드와 밴드간의 직접 재결합을 고려할때 재결합은 자발적으로 일어난다.

따라서 전자와 정공의 재결합 확률은 시간에 관계없이 일정하다. 전자의 재결합률은 전자농도에 비례해야하며 정공의 재결합률은 정공의 농도에 비례해야한다. 만약에 전자나 정공이 없다면 재결합은 일어나지 않는다.

전자농도의 순 변화율은 다음과 같이 쓸 수 잇다.

여기서 n(t) = n0+델타n(t)

과잉전자와 정공이 쌍으로 생성되고 재ㅐ결합되므로 우리는 델타n(t) = 델타p(t)가 됨을 알수있다 (과잉 전자와 전자 농도는 같으므로 괄호안의 과잉 캐리어를 전자, 혹은 정고으이 둘중 어느쪽으로도 생각 할 수 있으므로 간단히 취급할 수있다). 열평형 파라미터인 n0와 p0는 시간에 독립적이므로 식(6.7)다음과 같이 된다.

식6.9는 저-수준 주입(low-level inhection)의 조건을 적용하면 쉽게 풀린다.

저-수준 주입은 열평형 캐리어 농도와 비교했을 때 과잉 캐리어 농도의 양을 제한시킨다.

도핑시킨 n형물질에서 일반적으로 n0>>p0이고, 도핑시킨 p형 물질에서는 p0>>n0이다.

저수준 주입이란 과잉 캐리어의 농도가 열평형의 다수 캐리어 농도보다 아주 작은 상태를 의미한다. 반대로 고-수준 주입은 과잉 캐리어 농도가 열평형의 다수 캐리어 농도와 비슷하거나 더 클때 일어난다.

만약 p형 물질(p0 >> n0)에서 저-수준 주입(델타n(t)>>p0)상태라면 식(6.9)는 다음과 같이 된다.

타우n0는 저수준 주입일때 일정하다. 전자의 감소를 나타내는 것이며 타우n0를 소수 캐리어 수명(excess minority carrier lifetime)이라고 부른다.

양(+)의 값으로 정의 되는 소수 캐리어 전자의 재결합률은 식(6.10)을 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

R'n=델타n(t)/타우n0

밴드와 밴드간 직접 재결합에 있어서 과잉 다수 캐리어 정공 재결합률은 같으며 따라서 p형 물질에서는 다음과 같이 쓸수있다.

R'n=R'p=델타n(t)/타우n0

저-수준 주입상태인 n형 물질인 경우에는 시정수 를 가지고 소수캐리어 정공이 감소하는데, 여기서 타우p0는 과잉 소수 캐리어 수명을 나타낸다.

다수 캐리어 전자들의 재결합률은 소수 캐리어 정공들의 재결합률과 같다.

과잉캐리어들의 생성률은 전자나 전자농도의 함수가 아니다.

일반적으로 생성률과 재결합률은 공간과 시간의 함수이다.

6.2 과잉 캐리어의 특성

과잉 캐리어들의 생성률과 재결합률은 중요한 파라미터이지만, 전계와 농도의 기울기가 존재할 때에 시간과 공간의 함수로써 과잉 캐리어들이 어떻게 반응하는가 하는것도 아주 중요하다.

앞 절에서 언급한것처럼 과잉 전자와 과잉 정공은  서로 독립적으로 움직이지 않지만 그것들은 동일 유효 확산계수와 동일 유효이동도를 가지고 확산 및 드리프트 한다. 이 현상을 앰비폴러 전송이라고 부른다

여기서 우리가 알아야만 하는 것은 이들 과잉 캐리어의 성질을 특징짓는 유효 확산계수와 유효이동도가 무엇인가 하는 것이다.

이 문제를 풀기 위해서는 우리는 캐리어에 대한 연속방정식을 유도해야하고 그 다음에 앰비폴러 전송방정식을 유도해야한다.

최종적 결과로 저수준 상황에서의 도핑 반도체에 있어서(이 개념은 해석중에 정의될것이다), 유효 확산계수와 유효이동도 파라미터는 소수 캐리어의 그것임을 알게 될것이다. 이 결과는 다음에서 확실하게 유도, 전개될 것이다. 다음 장들에서 알게 되듯이 과잉 캐리어들의 성질은 반도체 소자의 특성에 아주 중요한 영향을 끼친다.

6.2.1 연속방정식

이 절에서는 전자와 정공에 대한 연속방정식을 유도한다. 그림 6.4에 일차원적 정공 입자 흐름이 x점에서 미분 성분이 들어가고 x+dx점에서 미분 성분이 나오는 미분 체적성분을 보인다. 파라미터f+px는 정공입자 흐름이고 단위는 정공개수/cm^2*s 이다. 보인입자 전류밀도의 x-성분에 대하여 우리는 다음과 같이 쓸 수있다.

이식은 Taylor 전개식이고 미분 길이 dx는 작은 값이므로 전개식에서 처음의 두항만이 의미가 있다. 미분 체적 성분 범위에서 단위 시간당 정공 숫자의 순증가는 정공 흐름의 x성분에 기인하며 다음과 같이 주어진다.

예를 들어 만약 f+px(x)>f+px(x+dx)이라면, 시간에 따른 미분 체적 성분 내의 정공의 숫자는 순증가를 보일 것이다. 만약, 삼차원적인 정공 흐름으로 식을 일반화시키면 식(6.16)의 우변은 ㅁㅁㅁㅁ로 쓸 수 있고, 우리는 여기서 일차원적 해석만 진행한다.

정공의 생성률과 재결합률은 미분 체적 내에서 정공의 농도에 영향을 끼친다. 미분체적 성분 내에서 단위시간당 정고으이 순증가는 다음과 같다.

여기서 p는 정공의 밀도이다. 식(6.17)의 우변의 첫번쨰 항은 정공의 흐름에 기인한 단위시간당 정공의 증가를 나타내고, 두번째 항은 정공의 생성에 기인한 단위시간당 정공의 증가를 나타내며, 마지막 항은 정고으이 재결합에 기인한 단위시간당 정공의 감소를 나타낸다. 정공의 재결합률은 p/타우pt로 주어지고 여기서 타우pt에는 열평형 캐리어수명과 과잉 캐리어수명이 포함되어 있다.

식(6.17) 양변을 미분체적으로 나눈다.

식(6.18)은 정공의 연속방정식이다.

6.2.2 시간의존 확산 방정식

6.3 엠비폴러 전송(ambipolar transport)

처음부터 우리는 전류관계식에 있어서 전계가 인가된 것으로 가정했었다. 이 전계 항은 시간의존 확산 방정식에 나타나있다. 만약 , 과잉 전자의 펄스와 과잉 정공의 펄스가 전계가 인가된 반도체의 어떤 특별한 점에서 생성된다면 과잉 정공과 과잉 전자는 서로 반대되는 방향으로 드리프트될것이다. 그러나 전자들과 정공들은 대전된 입자들이므로 이러한 입자의 분리는 두 입자들 간에 내부 전계를 유기시킬 것이다. 이 내부 전계는 전자와 정공을 서로 반대 방향으로 끌어당기는 힘을 만들것이다.

E-전계 (E-field)는

E= Eapp + Eint

여기서 Eapp 는 인가한 전계이고 Eint는 유기된 내부 전계이다.

내부 E전계가 전자들과 정공들을 끌어당기는 힘을 만들기 때문에 이 E-전계는 과잉 전자들과 정공드르이 펄스를 잡고 있게 될것이다.

그때 음으로 대전된 전자들과 양으로 대전된 정고읃ㄹ은 단일 유효 이동도나 확산계수를 갖고 각각 드리프트, 혹은 확산하게 될것이다.

이 현상을 앰비폴러 확산(ambipolar diffusion), 혹은 앰비폴러 전송이라고 부른다.

6.3.1 앰비폴러 전송 방정식의 유도

시간의존 확산방정식은 과잉 캐리어들의 움직임을 나타낸다. 그러나 과잉 전자와 과잉 정공의 농도를 내부전계와 관계시키기 위해서는 제 3방정식이 필요하게 된다. 이 관계가 다음과 같이 표현되는 poisson 방정식이다.

여기서 엡실론s는 반도체 물질의 유전률이다.

우리는 해를 더욱 쉽게 구하기 위해서 약간 근사화시킬 필요가 있다.

우리는 비교적 작은 내부 전계만으로도 과잉 전자와 과잉 정공이 드리프트와 확산을 동시에 하기에 충분하다는 것을 알 수 있다. 따라서 우리는 다음과 같이 가정할수 있다. Eint<<Eapp

그러나 Eint항은 무시할 수 없다. 우리는 중성전하의 조건을 적용하게 될것이다. 즉 우리는 과잉 전자농도가 공간과 시간상의 어떤 점에서 과잉 정공의 농도와 같게 됨으로서 균형을 이룬다고 가정하겠다. 만약 이 가정이 정확하다면, 두 종류의 입자를 함께 유지하기 위해서 유기된 내부 전계가 존재할 필요가 없다. 그러나 과잉 전자농도와 과잉 정공의 농도가 아주 조금이라도 차이가 난다면 드리프트와 확산을 함꼐 유지하기 위해 필요한 내부 E-전계가 있어야 할것이다. 예를들어 dn과 dp에 1%의 차이가 있다면 E의 변화율=Eint의 변화율의 값을 무시할 수는 없게 될것이다.

우리는 E의 변화율항을 소거할수 있다.

gn=gp=g

이 식에서 DP2차미분 -모빌리티(전계+P)+G-RR=n(1차미분)

이 식은 앰비폴러 전송 방정식을 유도하게ㅜ 되며 이 식은 시간과 공간에 있어서의 과잉 전자와 과잉 정공의 움직임을 나타낸다. 파라미터 D' 은 앰비폴러 확산 계수라 부르고 뮤'=앰비폴러 ㅇㅣ동도 라고 ㅂㅜ른다.

앰비폴러 확산계수는 D'=DnDp(n+p)/Dnn+Dpp라고 부를 수도 있다.