반도체 물리전자 (앰비폴러 전송,유사페르미 에너지 준위,과잉캐리어 수명,표면효과)

물리전자 과목

책(Neamen)의 반도체 물성과 소자)

semiconductor Physics and devices

6.3.2외인성 도핑 및 저 주입에 의한 제한

앰비폴러 전송방정식은 외인성 반도체 및 저 수준 주입을 고려해 넣는다면 간단해지고 선형화 될것이다.

여기서 n0,p0는 각각 열평형의 전자와 정공의 농도이며, dn은 과잉 캐리어 농도이다. 만약 p형반도체를 고려한다면 p0>>n0로 가정할수있다. 저-수준 주입, 혹은 저 주입 조건이란 과잉 캐리어 농도가 열평형 다수 캐리어 농도보다 아주 작을때를 의미한다. p형 반도체에 대해 저-주입을 적용하면 dn<<p0가 된다. 이럴경우 앰비폴러 확산 계수는 다음과 같다.

D'=Dn

외인성 p형반도체와 저주입 조건을 앰비폴러 이동도에 적용시키면 식은 다음과 같이 줄어든다 모빌리티'=모빌리티n

저 주입 조건하의 외인성 p형 반도체에 있어서 앰비폴러 확산 계수와 앰비폴러 이동도 계수는 상수 값인 소수-캐리어 전자 파라미터 값들로 된다는 사실에 주의깊게 주목할 필요가 있다. 앰비폴러 전송 방정식은 상수 계수를 가지는 선형 미분방정식으로 줄어든다.

또 앰비폴러 파라미터는 사웃인 소수 캐리어 값들로 표현됨을 알수있다. n 형 반도체에 대해 앰비폴러 이동도는 음의값이라는 것이 주목하기 바란다. 앰비폴러 이동도 항은 캐리어 드리프트와 관련이 있으며 따라서 드리프트 항의 부호는 입자의 전하에 의존한다.

등가 앰비폴러 입자는 식을 비교하면 알수 있듯이 음으로 대전되어 있다. 만약 앰비폴러 이동도가 양으로 대전된 정공의 형태로 되면 식에 보인것처럼 음인 부호로 대체된다.

앰비폴러 전송 방정식에 있어서 우리가 고려해야할 남아있는 항은 생성률과 재결합률이다. 전자와 정공의 재결합률은 같고 Rn=Rp=n/타우=p/타우 각각 전자와 정공의 수명을 나타내는게 타우 값임을 알고있다.

수명의 반비례를 고려하면 재결합하는 단위시간당의 확률을 나타낸다.

비록 저 주입 조건하에 있을지라도 소수 캐리어 정공의 농도는 수 차수 크기로 증가한다. 정공과 만나는 다수 캐리어 전자의 단위시간당 재결합확률은 격렬하게 변화하게 될것이다. 그때 과잉 캐리어가 존재한다면 다수 캐리어 수명은 근본적으로 변화하게 될것이다.

앰비폴러 전송 방정식에 있는 생성과 재결합 항을 다시 한번 생각해 보자.전자에 대해서 쓰면

g-R=Gn0+g'n-(Rn0+R')

과잉 전자의 생성률은 과잉 정공의 생성률과 반드시 같아야 한다. 과잉 캐리어의 생성률을 g'으로 정의하면 gn'=gp'=g'로 된다. 또한 소수 캐리어의 수명은 저 주입 조건하에서는 늘 상수값을 갖는다. 그때 앰비폴러 전송 방정식에 있는 g=R항은 소수 캐리어 파라미터의 항으로 쓸수 있을 것이다.

이제 우리는 앰비폴러 전송 방정식이 전송및 재결합 파라미터들이 소수캐리어에 대한 것들이라는 것을 알수있고 공간좌표와 시간의 함수로서 과잉 소수 캐리어의 드리프트 확산 재결합을 나타내는것을 알수있다.

여기서 중성 전하 조건을 적용하면 과잉 소수 캐리어의 농도는 과잉 다수 캐리어의 농도와 같다는 것을 상기한다.

이때 과잉 다수 캐리어는 과잉 소수 캐리어와 함께 확산과 드리프트를 하게된다.

따라서 과잉 다수 캐리어는 과잉 소수 캐리어의 파라미터에 의해 결정된다. 이 앰비폴러 현상은 반도체 물성에 있어서 매우 중요하며, 반도체 소자의 특성과 동작을 설명하는데 기초가 된다.

6.3.3 앰비폴러 전송방정식의 적용

우리는 여기서 몇가지 문제들에 관한 앰비폴러 전송방정식을 풀어보기로 한다.

pn접합과 다른 반도체 소자들을 논할때 사용될 터이니 잘 알아두도록 하자.

n형 반도체 내에서 과잉 전자와 과잉 정공은 과잉 소수 캐리어 정공의 수명에 의해 결정된 비율로 재결합한다.

t->무한대 로 갈때 정상상태 과잉 정공 및 과잉 전자는 g't0에 도달한다. 식(6.60)은 과잉 캐리어에 대한 생성률 및 재결합률을 둘다 포함한다.

과잉 소수 캐리어 전자농도는 과잉 소수 캐리어의 수명과 동일한 시정수 타우p0를 가지고 시간에 따라 증가한다. 과잉 캐리어 농도는 비록 정상상태인 과잉 전자와 과잉 정공 생성이 존재할지라도 시간이 무한대로 감에 따라 정상상태 값에 도달하게된다.

이 정상상태 효과는 d(dp)dt=0 으로 놓으면 된다. 남아있는 항은 단순히 정상 상태에 있어서, 생성률과 재결합률이 같게 된다.

정상상태 과잉 농도는 x=Ln일때 그 초기값의 1/e로 감소하게 됨을 알수있다.

앞서 우리는 전하 중성을 가정하였다 따라서 정상상태의 과잉 다수 캐리어 정공의 농도 역시 동일한 소수 캐리어 전자의 확산길이 Ln인 특성값을 가지고 거리에 따라 지수적으로 감소한다. 그림6.7은 거리의 함수로 표현한 총 전자 및 정공의 농도를 보인 그래프이다. p형 반도체에 있어서 dn(0)<<p0인 저 주입을 가정하자. 총 다수 캐리어 정공의 농도는 거의 변화하지 않는다. 그러나 dn(0)<<n0 이며 아직도 저-주입 조건을 만족하고 있다. 소수 캐리어의 농도는 수 차수 크기로 변화하게된다.

앰비폴러 방정식을 특정 상황에 적용시킨 앞의 세 예제는 균일조건,혹은 정상상태 조건중의 어느 한 조건을 가정하였고 단지 시간 변화만을 혹은 공간 변화만을 고려하였다.

이제는 같은 문제에 대하여 시간과 공간 둘다 의존하는 예제를 고려해 보기로 하자

우리는 시간변화에 대한 거리 x의 함수를 그릴 수 있다. 그림6.8은 인가전계가 영일때의 그러한 경우를 보인것이다. t>0일때 과잉 소수캐리어 정공은 +x 및 -x의 양방향으로 확산한다. 이 시간동안 생성되었던 과잉 다수  캐리어 전자는 정공과 정확히 똑같은 비율로 확산한다. 이 시간동안 생성되었던 과잉 다수 캐리어 전자는 정공과 정확히 똑같은 비율로 확산한다. 시간이 지남에 따라 과잉 정공과 과잉 전자가 재결합 하여 t=무한대 일때 과잉 정공의 농도는 영으로 된다. 이 특별한 예제에 있어서 확산과 재결합의 두과정이 동시에 일어난다.

시간변화가 거리의 함수를 나타내는 식으로 그래프를 그려보자

이경우에 과잉 소수 캐리어 ㅈ어공의 펄스는 전계 방향인 +x 방향으로 드리프트 된다. 우리가 앞서 얻은것처럼 확산과 재결합 과정이 같은 것임을 알수 있다. 중요한 것은 어떤 순간에서의 시간 및 공간에서의 어떤 점에서 전하 중성 조건 dn=dp이 성립한다는 사실이다. 과잉 호울농도는 과잉 전자농도와 같다.  이 경우에 과잉 전자펄스는 비록 전자가 마이너스 전하를 띠고 있다고 하더라도 이나 전계와 같은 방향으로 움직인다 앰비폴러 전송과정에 있어서 과잉 캐리어들은 소수 캐리어 파라미터들에 의해 특성지어 진다. 이 예제에서 과잉 캐리어들은 D,모빌리티,타우 를 포함하는 소수 캐리어 정공 파라미터들에 따라 행동하게 된다. 과잉 다수 캐리어 전자들은 과잉 소수 캐리어 정공들에 의해 끌려간다.

6.3.4 유전 완화 시정수

과잉 정공의 농도는 과잉 전자의 농도와 균형을 이룬다고 가정하였다.

하지만 dp인 균일한 농도를 갖는 정공이 반도체 표면 쪽으로 갑자기 주입되는 상황을 생각하자 이때 반도체는 순간적으로 과잉 전자농도를 띄게 되며 순 양전하 밀도는 과잉 전자의 농도와 균형을 이루지 않게 된다. 전하 중성은 어떯게 그리고 얼마나 빠르게 일어나게 될까?

이를 정의하는 세 방정식을 정리하자, n형 반도체 표면의 작은 영역으로 전자농도를 주입한다.

여기서 Td=엡실론/로)

Td를 유전 완화 시정수라고 부른다.

6.3.5 Haynes-Shockley 실험

우리는 반도체 내에서 과잉 캐리어의 특성을 표현하는 수학적 해석을 유도하였다.

Haynes-Shockley 실험은 과잉 캐리어의 특성을 실제로 측정한 최초의 실험들 중의 하나였다.

기본적인 실험 배치를 보인다. 전압원 V1은 N형 반도체 샘플에 +X 방향으로 전계E0를 인가시키기 위한 것이다.

과잉 캐리어들은 접촉점 A에서 반도체로 효과적으로 주입된다.

접촉점 B는 전압원 V2에 의해 역방향 바이어스된 정류 접촉이다.

접촉점B에는 반도체를 통해 과잉 캐리어들이 드리프트됨에 따라 그 캐리어들이 모이게 될것이다.

캐리어들이 모이면 출력전압 V0이 발생하게 될것이다.

소수 캐리어의 이동도, 수명, 확산계수를 이 단순 실험으로부터 측정할 수 있다.

양호한 1차 근사로서, 소수 캐리어 펄스의 최대치는 거리와 시간 항이 있는 지수 항이 영일때 접촉점 B에 도달하며, 다음 식처럼 나타낼수있다.

X-모빌리티E0t=0

이때 x=d이며, 여기서 d는 접촉점 A와B 사이의 거리이고, t=t0이며, 여기서 t0은 펄스의 최대치가 접촉점 B에 도달하는 시간이다. 이동도는 다음과 같이 산출할수 있다.

모빌리티=d/E0t0

시간의 함수로서 출력응답을 다시 보인것이다.

시간t1과 t2에 있어서 과잉 농도의 크기는 그 최댓값의 e^-1이다.

Haynes-Shockley 실험은 드리프트,확산,재결합의 기본적 세가지 과정을 단 한번의 실험으로 관찰 할수있는 점에서는 아주 훌륭한 것이다.

이동도는 간단하면서도 정확한 값으로 산출 할수있다. 확산계수와 수명은 더욱 복잡하며 대로는 부정확한 값으로 되기도 한다.

6.4 유사 페르미 에너지 준위

n0=niexp(EF-EFI/KT)

어떤 반도체내에서 과잉 캐리어가 생성된다면 그때는 이미 열평형상태가 아니며, 페르미 에너지는 명확하게 정의할 숭 벗다.

그러나 우리는 비평형상태에 적용할수있다는 전자에 유사-페르미 준위와 정공에 대한 유사-페르미 준위를 정의할수있다. 만약 dn과 dp가 각각  과잉 전자와 과잉 정공의 농도라면 우리는 다음과 같이 쓸수있다.

여기서 Efn과 Efp는 각각 전자와 정공에 대한 유사-페르미 에너지 준위이다. 전체 전자농도와 전체 호울농도는 유사-페르미 준위의 함수이다.

비평형조건하에서의 에너지-밴드 다이어그램을 나타낸 것이다. 다수 캐리어 전자농도는 저-주입 조건에 있어서 크게 변하지 않기 때문에 전자에 대한 유사-페르미 준위와 큰차이가 없다. 소수 캐리어 정공에 대한 유사 페르미 준위는 열평형 페르미 준위와 큰 차이가 없다.

소수캐리어 정공에 대한 유사 페르미 준위는 페르미 준위로 부터 아주 많이 다르며 이사실은 열평형으로부터 많이 벗어난다는 사실을 나타내는 것이다. 전자농도가 증가하므로 전자에 대한 유사-페르미 준위는 전도대쪽으로 약간 더 접근하게 된다.

전자농도는 크게 증가하므로 인해정공에 대한 유사-페르미 준위는 가전자대쪽으로 더 많이 접근하게 된다. 우리는 순바이어스 pn 접합을 논의할때 유사-페르미 에너지 준위를 다시 고려하게 될것이다.

6.5  과잉 캐리어 수명

과잉 전자와 과잉 정공의 재결합률은 반도체에 있어서 중요한 특성이며, 다음장에 들어가서 알겠지만

소자 특성에 많은 영향을 끼친다.

우리는 재결합에 관하여 이 장의 처음부분에서 간단하게 살펴보았듯이, 재결합률은 평균 캐리어 수명에 반비례한다는 것을 논의했었다. 우리는 지금까지 평균 캐리어 수명은 반도체 물질의 단순한 하나의 파라미터라는 것을 가정해왔다.

우리는 전자적 에너지 준위가 금지대인 에너지 갭 내에는 존재하지 않는 이상적 반도체를 가정해왔다. 이러한 이상적 효과는 이상적인 주기적-전위 함수를 갖는 완전한 단결정 물질 내에서 나타나게 된다.

실제로 반도체 물질의 결정 내에는 결함들이 존재하므로 완벽한 주기적-전위 함수로 되지 않는다.

만약 이들 결함의 밀도가 그다지 많지 않다면 결함은 금지대 내에 개별적인 전자적 에너지 준위를 발생시킨다.

이들 허용 에너지 준위들이 평균캐리어 수명을 산출함에 있어서 지배적인 영향을 미치게될것이다.

평균 캐리어 수명은 재결합에 관한 shockley-read-hgall 이론으로 산출할수 있다.