회로이론 라플라스 변환(laplace 변환) (한글파일 정리본 다운)

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Laplace 변환.hwp

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Laplace변환은 공학계의 미분방정식의 해를 구하고 초기치 및 경계치 문제를 풀기 위한 유용한 방법이다. Laplace변환에 의하여 미분방정식의 해를 구하는 과정은 3단계로 이루어진다.

첫째, 주어진 미분방정식을 함수변환에 의하여 간단한 대수방정식(보조방정식)으로 변환한다.

둘째, 순수한 대수적인 연산으로 보조방정식의 해를 구한다.

셋째, 이 방정식의 해를 역으로 변환한다.

Laplace변환의 이점은 초기조건에 유의하여 함수변환을 하고 그 해를 구하면, 초기치 문제에서 일반해를 구하는 과정을 피하고 직접 초기치 문제를 풀 수 있다. 특히 Laplace변환을 비 제차 미분방정식에 적용하면 그에 대응하는 제차 방정식을 먼저 풀지 않고서도 직접 해를 구할 수 있다.

Laplace 변환의 정의와 이론

주어진 함수 가 구분적 연속(pice wise continuous)이고 의 모든 양의 값에 대하여 정의된 함수라고 하고, 에 를 곱하고 에 관하여 0에서 까지 적분한다.

함수 에 유한개의 불연속점이 존재하더라도 극한치가 존재하면 그 적분의 존재에 아무 지장을 주지 않는다.

따라서 결과식의 적분이 존재한다면, 이는 의 Laplace 변환(Laplace transform)은 아래의 이상적분이 수렴하는 모든 에서 다음 함수로 정의된다.

는 함수임을 강조한다.

즉, Laplace변환은 함수 을 새로운 함수 를 만드는 과정이다.

 

복소 진폭계수가

,

일 때, 를 원함수 의 Laplace변환이라 하고, 로 쓰고, 역변환은 라 한다. 이는

,

라 하며. 역변환이라 한다.

기호적으로는 ,

,

로 나타낸다.

변수 의 영역을 시간영역, 를 시간함수, 변수 의 영역을 영역, 를 함수라 한다.

푸리의 급수 및 계수적분으로부터 Laplace적분까지의 일반화 과정에 대한 순서를 표1에 나타내었다.

형식	정 변 환	역 변 환
푸리에 급수	,
쌍방적 푸리에 적분
일방적 푸리에 적분		,
복소 푸리에 적분		,
라프라스적분	,	,

표1. 정 및 역변환 형식의 순서

1) 복소평면

그림에서 , 가 실변수일 때, 복소변수 의 값은

기하학적으로 한 평면상의 점으로 표시할 수 있으며, 이 평면 을 복소평면 또는 평면이라 한다.

변수 , 는 직교좌표로서 취급하며 횡축을 실수축( 축), 종 축을 허수축( 축)이라 하며, 이 경로에는 관계없이 를

무한원점이라고 한다.

 

이러한 경우 의 값을 기하학적으로 표시하기 위해서는 직교좌표보다 극좌표식이 더 편리한 경우가 많다.

2) 해석함수

지금 를 아무런 제한을 받지 않은 에 관한 함수라고 하고, 복소평면상의 점 에서 함수 가 유일한 도달함수 을 가질 때, 함수 는 점 에서 해석적(analytic)이라고 말한다. 어느 함수가 복소평면상의 어느 구역 내에 있는 모든 점에서 해석적인 경우에 이것을 그 함수가 그 구역 내에서 해석적이라고 말하며, 그 구역 내에서 1차 함수를 가지면 그 구역 내에서 역시 임의의 고차 도함수를 가지며, 이들은 전부 해석함수가 된다.

3) 특이점 및 영점

이 정의 정수일 때 함수 가

로 표시되고, 가 0이 아닌 유한치를 가지면 는 점 에서 차의 영점(zero)을 갖는다고 말한다. 또 함수 가 해석적이 아닌, 유일한 도함수를 갖지 않은 평면상의 점을 의 특이점(singular)이라 한다. 이 특이점 중에서 가장 간단한 것은 극(pole)이다.

만일 함수 가

로 표시되고, 이 0이 아닌 유한치를 취하면 는 점 에서 차의 극을 갖는다고 말한다. 만일 가 에서 차의 극을 갖는다면 이 에 선형인수 을 곱함으로써 그 극을 제거할 수 있다. 을 유한의 정의 정수라 할 때 단가함수 에 을 곱하여 점 에서 해석적인 함수 로 만들 수 없는 경우에, 이 함수 는 점 에서 근본적 특이성(essential singularity)을 갖는다고 말한다.

2. 간단한 함수의 Laplace 변환

 

변환은 그 적분의 상한이 무한대이기 때문에 이상적분을 포함할 수도 있으며, 더욱이 전분한계 내의 어느 점, 특히 이 한계 내의 하한에서의 피적분함수의 성질에 따라 그 적분이 이상적분으로 되는 경우가 있다. 그러므로 이 변환을 할 때에는 언제든지 적분을 극한치과정에 의하여 다음과 같이 정의해야 한다.

 

1) 단위치, 단위 계단함수

단위치는 모든 의 값에 대하여 항상 그 값이 1인 함수라고 할 수 있으며, 만일 이 존재한다면 그것은 다음과 같은 적분으로 구할 수 있을 것이다.

,

여기서 이면 그 극한치는 이 되므로, 따라서 , 를 얻는다.

다음에 계단함수 는 일 때 단위치를 갖는 함수이고, 변환에 있어서의 적분한계는 0부터 까지이므로 , 를 얻는다. 따라서 단위치와 의 변환은 간단한 유리분수인 이 되고, 은 1차의 극을 갖는 원점을 제외한 유한평면 내에서 해석적인 함수가 된다.

단위 계단함수 의 에서 이 함수가 어느 유한 확정치를 갖도록 정의되었다 할지라도, 그 값은 변환에는 하등의 영향을 미치지 않는다. 즉 함수 의 원점에 있어서 정의가 다르더라도 에 대하여 이 된다.

2) 지수함수

를 정의 실수라 할 때 는

,

가 되며, 함수 은 1차의 극이 있는 를 제외한 유한 평면 내에서 해석함수가 된다. 는 마찬가지 방법으로 구하면,

,

가 되며, 함수 은 에 1차의 극이 있다.

3) 3각 함수

가 정의 실수일 때, 정현함수 의 Laplace변환은

,

는 두 점 에 각각 1차의 극이 있으며, 마찬가지 방법으로 는 다음과 같이 구해진다.

,

 

,

4)

일 경우는 단위치와 같으며 이 정수일 때, 즉 이면, 정의에서

부분적분에서 이므로 , 라고 하면

,

이므로

,

, (1)

은 원점에 2차 극이 있다.

다음에 이 정의 정수일 때 은 부분적분을 번 하면 된다.

즉 에서 , 라 하면

,

이므로

,

이것을 다시 부분적분하면 다음과 같이 된다.

,

이 식을 계속 적분을 반복하면

,

, (2)

 5)

일 때 식(1)을 적용하여 구할 수 있다. 즉

,

이므로

,

마찬가지 방법을 사용하여, 이 정의 정수일 때는 식(2)에서

,

,

3. Laplace 변환의 기본정리

 

1) 유일성

시간함수 가 Laplace 변환이 가능해서 그 변환함수를 라고 하면, 와 는 유일하게 대응된다. 즉 하나의 함수에 대해서 서로 다른 가 존재할 수 없다.

정의에 의해서 변환은

이다. 따라서 에 대응되는 시간함수도 유일하여, 다음의 역변환을 통해 에 대응되는 시간함수를 구할 수 있다.

 

2) 선형법칙

함수 , 가 변환이 가능한 시간함수이고, 각각의 변환이

,

일 때, , 를 시간 에 관계없는 상수라고 하면

,

이다. 이것은 다음과 같이 증명할 수 있다.

3) 상사(相似)법칙

함수 가 변환이 가능한 시간함수이며

일 때, 를 시간 에 관계없는 상수라고 하면

가 성립한다. 변환의 정의에 의하여

여기서 라고 놓으면 , 이므로 이것을 대입하면

 

4) 도함수의 Laplace 변환

함수 의 변환이 가능하고

일 때 의 변환도 가능하며

이다. 이것은 다음과 같이 증명할 수 있다. 변환의 정의로부터

이다. 부분적분에서 이므로, , 라 하면,

이 적분은

그런데 윗 식에서 는 가 정(正)으로부터 0으로 접근할 때의 의 값이며, 그 이유는 변환의 정의에 의한 것이다. 즉 적분의 하한 이 정의로부터 0에 접근하기 때문이다.

 

5) 적분의 Laplace 변환

함수 의 변환이 가능하며, 그 변환이

이면, 그 적분은

도 또한 변환이 가능하며

이다. 여기서 는 초기치가 되는 것으로서

이다. 어느 함수 자신의 변환이 가능하면 그 함수의 적분에 대한 변환도 역시 가능하게 된다는 것은 변환이 가능하기 위한 필요충분조건을 생각하면 명백하다. 이것의 증명은 다음과 같이 할 수 있다.

변환의 정의에 의하면

이며, 에서 , 라 하면 윗 식은

이다. 이것은 이 될 때 가 존재하기 때문에 가능하다. 그러므로

이다. 고차적분에 대한 변환도 이 관계를 반복하면 다음과 같이 된다. 즉

,

라 하면

 

6) 의 변이추이

의 변환이 가능하며

이면

는 에서는 0이 되므로 윗 식은

 

7)

의 변환이 가능하고

이면

이다. 이것을 증명하기 위하여 먼저 를 생각하면

따라서 같은 방법으로 반복하면

이다.

 

 

8)

의 변환이 가능하고

라고 하면

이다.

이다.

 

9)

의 변환이 가능하고

라고 하면

이다. 이것을 증명하기 위하여 변환의 정의를 생각하면

이다.

 

 

3. Laplace 변환에 의한 미분방정식의 해법

 

1) 선형미분방정식의 해법

를 변수로 하는 함수 에 대한 선형미분방정식이

일 때를 생각하면, 에서 , 라 하여 윗 식의 양변을 변환한다.

여기서 , 이다. 양변을 정리하면

가 초등함수이면 는 유리함수가 될 것이므로 는 일반적으로

,

의 형태로 되어 는

가 된다. 그러므로 함수의 역변환을 구하면 미분방정식의 해 를 구할 수 있다.

 

2) 전기회로에의 응용

그림과 같은 선형 전기회로망의 해를 변환에 의하여 푸는 방법을 생각해 보자. 이 회로에서 인덕턴스 에 흐르는 전류 와 캐패시턴스 의 전압 를 변수로 하는 회로 방정식은,

이다. 두 식의 변환을 취하면

그림1 회로

이다. 여기서 , , 이다.

앞의 식에서 , 를 구하면

가 된다.

이와 같이 하여 함수 , 를 용이하게 구할 수 있으며, 초기조건으로서 에서 에 흐르는 전류 와 의 단자전압 가 주어지면, 이들을 변환함으로서 , 를 구할 수 있다.

 

3) 역변환

대부분의 응용에서 해 가 다음과 같은 유리 대분수로서

인 형태의 보조 방정식에 대해서 생각해 보자. 여기에서 , 는 실정수, , 는 양의 정수라고 한다. 위와 같은 경우, 문제의 해 는 를 부분분수의 합으로 표시하여 결정할 수 있다.

 

[1] 이며 반복되지 않는 인수 (

앞의 식에서 에 대한 극의 위치는 으로 주어지며, 이 개의 근을 , , , … 이고, 이들이 서로 다르며, 또한 , 라 하면 는 1차의 극만을 갖는다. 이 경우 는

이며, 이것을 부분분수로 전개하면

(5)

이며, 변환은

이다. 여기서 는 미정계수이다. 계수 를 구하기 위해서 식(5)의 양변에 를 곱하면

이다. 이 식에서 라 하고 는 라는 인수가 없으므로

그런데 분모는 일 때 형태의 부정형이 되지만, I’Hospital의 법칙에 의하여 이를 계산하면

이다. 따라서 식(5)를 합의 형식으로 고쳐 쓰면

따라서

이다. 그런데 이므로

가 된다. 여기서 는 의 근이며, 이다.

 

[2] 한 극이 원점에 있는 경우

에서 이라고 하면

여기서, 이다.

같은 방법으로 변환을 구하면

이다.

 

[3] 이며 고차극을 가진 경우

이 개의 서로 다른 근 을 가지고 또한 은

각각 중근이 된다고 한다. 이때 이며 또한 ,

이라고 하면 는

를 부분분수로 전개하는데 있어 차의 각 극 에 대하여 개의 부분분수, 즉

, , ,

가 있다는 것을 생각하면 그 결과는

(6)

이다. 계수 를 구하기 위하여 윗 식의 양변에 를 곱하면

이 되며, 이 식의 [ ] 안에 있는 계수 , , , , , 를 가진 항을 제외한 모든 항이 들어 있으며, 좌변에서는 가 를 한 인수로 가지고 있으므로 약분이 된다. 따라서 윗 식에서 라 놓으면 좌변은 한 실수가 되며, 우변에서는 을 제외한 모든 항은 0이 된다. 따라서 이 결정되며, 다음에 를 구하기 위하여 윗 식을 에 관하여 미분하면

이므로, 여기에서 라 놓으면 가 구해진다. 이와 같이 계속 미분하면 모든 계수를 구할 수 있으며, 일반적으로 는 다음 식으로 구해진다.

(7)

그러므로 는 식(6)의 전개를 이용하면

(8)

그런데

이므로, 이것을 식(8)에 대입하면

,

이다. 단, 여기서 는 식(7)과 같다.

 

[4] 한 쌍의 공액근이 허수축 위에 있는 경우